Materiály vypracovali učitelia základných a stredných škôl.
Ako prázdninujete?
super - dovolenka, kúpaliská, kamaráti
42%
nudím sa, všetci kamaráti su odcestovaní
8%
nič zvláštne nerobím, sedím doma pred televíziou
29%
v pohode, flákam sa von s kamarátmi
21%
Kombinatorika
Dátum pridania: 30. 07. 2010 13:32
Učivo zobrazené: 268x
Vypracovala: Petra Podmanická
Konfigurácia je ľubovolné zobrazenie množiny A do množiny B, vyhovujúce určitým podmienkam, ktorých charakter nie je dopredu určený.
Kombinatorika skúma otázky existencie, vytvárania a vyčíslenia (určenia počtu) konfigurácií. Je to časť matematiky, ktorá sa zaoberá troma základnými úlohami, a to:
-
Koľkými spôsobmi môžeme vybrať určité objekty
-
Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať určité objekty
-
Koľkými spôsobmi môžeme zoradiť určité objekty
Príkladom na konfigurácie sú variácie, permutácie, kombinácie
-
Permutácie P bez opakovania: riešia tie úlohy, ktorými sa pýtame na otázku: „Koľko existuje spôsobov, ktorými môžeme zoradiť do radu prvky neprázdnej konečnej množiny n-prvkov?“ Permutácie bez opakovania môžeme vyjadriť a následne počítať podľa nasledovného vzťahu:
P(n) = n* (n-1) * (n-2) * .....*3*2*1 = n!
-
Permutácie P’ s opakovaním: riešia úlohy, pri ktorých sa pýtame otázkou: „Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať do radu n1 + n2+....+nk objektov?“ pričom n1, n2 ... nk sú objekty prvého, druhého....k-tého druhu. Počítame podľa nasledovného vzťahu:
-
Variácie Vk(n) bez opakovania: rieši úlohy, pri ktorých hľadáme odpoveď na otázku: „Koľko existuje spôsobov, ktorými môžeme z „n“ rôznych objektov vybrať takých „k“ objektov, ak záleží na tom, v akom poradí ich budeme vyberať?“ Odpovedá tiež na otázku koľko usporiadaných k-tic môžeme vytvoriť z „n“ prvkov. Pri riešení takýchto príkladov postupujeme podľa vzťahu:
Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ..... * (n-k+1) = 
-
Variácie V‘k(n) s opakovaním: rieši také úlohy, pri ktorých hľadáme odpoveď na otázku: “Koľko existuje spôsobov, ktorým môžeme z „n“ objektov vybrať „k“ objektov, ak záleží na poradí vyberania a tieto objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Takýto prípad riešime podľa vzťahu:
V’k(n) = nk
-
Kombinácie Ck(n) bez opakovania: odpovedá na otázku: „Koľko existuje takých spôsobov, ktorými môžeme spomedzi „n“ objektov vybrať „k“ takých objektov, pre ktoré platí, že „k ≤ n“ pričom nezáleží na poradí vyberania?“ Alebo inak povedané, zisťujeme, koľko k-prvkových množín má daná n-prvková množina. Pri riešení takéhoto typu úloh sa riadime vzťahom:
-
Kombinácie C’k(n) s opakovaním: otázka, ktorá nám tu vystupuje, je: „Koľko je takých spôsobov, ktorými môžeme z „n“ objektov vybrať určitých „k“ objektov, pričom nezáleží na poradí vyberania, avšak objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Pri týchto typoch príkladov využívame vzťah:
Príklady na jednotlivé typy konfigurácií (v súlade s poradím v teórii)
-
Koľkými spôsobmi môžeme uložiť štyri guličky (červená, modrá, zelená, žltá) do jedného radu tak, aby sa kombinácie neopakovali?
P = 4! = 4*3*2*1 = 24
Môžeme ich uložiť 24 spôsobmi.
-
Koľkými spôsobmi môžeme postaviť piatich ľudí do jedného radu, pričom dvaja majú hnedé vlasy, dvaja majú červené vlasy a jeden má čierne vlasy?
Môžeme ich postaviť 30 spôsobmi.
-
Koľkými spôsobmi môžeme obsadiť prvé tri miesta v rade, ak sa tam nachádzajú piati ľudia?
Môžeme ich obsadiť 60 spôsobmi.
-
Koľko existuje spôsobov, ktorými môžete navoliť štvormiestny PIN na karte, ak viete že na bankomatoch sú čísla od 0 po 9
V’ = 104 = 10 000
Existuje 10 000 spôsobov.
-
Koľko existuje dvojkombinácií z piatich prvkov (a,b,c,d,e), ak sa nemôžu opakovať?
Existuje 10 takých dvojkombinácií.
-
Koľko existuje takých dvojkombinácií piatich prvkov, ak sa môžu opakovať?
Existuje 15 takých dvojkombinácií.
Použitá literatúra:
zbierka vzorcov z metemttky od RNDr. Olejár a kol.
Hodnotenie:
Hviezdičky: 2.8
Hodnotené: 15x
Hodnotené: 15x
odporúčame
