Slovné úlohy riešené nerovnicami

Vypracoval(a): Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

reklama

Príklad 1:

Súčet troch za sebou idúcich párnych čísel je najviac o 63 väčší, ako je súčet nepárnych čísel ležiacich medzi nimi. Urč trojicu najväčších párnych čísel, ktoré uvedenej podmienke vyhovujú.

Riešenie:

Označíme si:

• párne číslo .............2a

• predchádzajúce párne číslo ......2a – 2

• nasledujúce párne číslo.............2a + 2

Potom nepárne čísla nachádzajúce sa medzi 2a – 2 až 2a + 2 sú 2a – 1 a 2a + 2

Zostavíme nerovnicu:

(2a – 2) + 2a + (2a + 2) ≤ (2a – 1) + (2a + 1) + 63

a počítame:

2a – 2 + 2a + 2a + 2 ≤ 2a – 1 + 2a + 1 + 63

6a ≤ 4a + 63

2a ≤ 63

Uvedenej podmienke vyhovuje trojica párnych čísel 60, 62, 64.

 

Príklad 2:

Myslím si číslo. Ak ho vydelím piatimi a od výsledku odrátam číslo 1, dostanem väčšie číslo ako polovica čísla, ktoré je o 1 väčšie ako číslo, na ktoré myslím. Na aké číslo myslím? Vyhovuje daným podmienkam len jediné číslo?

Riešenie:

Pozorne si prečítame text a označíme si:

• číslo na ktoré myslím ...........a

• toto číslo vydelené piatimi: ...a/5 a ...

• ...zmenšené o 1: (a/5) – 1

• číslo o 1 väčšie ako to na ktoré myslím.......a +1....

• ...polovica tohto čísla (a + 1)/2

Teraz zostavíme správne nerovnicu:

A ďalej upravujeme:

2a – 10 > 5a + 5

2a – 5a > 15

-3a >15

-a > 5 / *(-1)

a < -5

Môžem myslieť na ktorékoľvek číslo menšie ako -5.

 

Príklad 3:

Najmenej koľko dvadsať eurobankoviek budeme potrebovať, aby sme s nimi zaplatili 10 fliaš značkového vína v cene 13,99€/fľaša? Príklad rieš nerovnicou.

Riešenie:

počet eurobankoviek........................x

počet musí byť prirodzené číslo

Zostavíme nerovnicu:

20x ≥ 10 x 13,99

A upravíme:

20x ≥ 139,90

x ≥ 6,995

Na zaplatenie 10 fliaš značkového vína potrebujeme aspoň 7 20€ bankoviek.

 

Príklad 4:

Koľko prirodzených čísel n existuje tak, že platí: osmina n je väčšia alebo rovná ako dva a súčasne je menšia ako číslo 3?

Riešenie:

Zapíšeme si podmienky pre n:

 

Nerovnice upravíme:

n ≥ 16

n < 24

Na číselnej osi si znázorníme interval pre podmienky n ≥ 16 a n <24

 

Podmienkam vyhovujú prirodzené čísla: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23.

 

Príklad 5:

Podnikateľ potrebuje kúpiť kamenné dlaždice na nový chodník. Každá dlaždica stojí 0,33€ a chce minúť maximálne 50€. Zapíš nerovnicu, ktorá predstavuje maximálny počet dlaždíc, ktoré môže za 50€ podnikateľ nakúpiť.

Riešenie:

každá dlaždica stojí 0,33€

možno minúť maximálne 50€ ⟹ menej alebo rovné 50

počet zakúpených dlaždíc .......x

0,33x ≤ 50

x ≤ 151,5

Podnikateľ môže za 50€ minúť maximálne 151 dlaždíc.

 

Príklad 6:

Dve celé kladné čísla sú v pomere 2:3. Ich rozdiel je menší alebo rovný 6. Urč najväčšiu dvojicu týchto čísel.

Riešenie:

Jedno číslo si označíme x, druhé y

Pre tieto čísla platí:

                    2x = 3y       (1)

a súčasne :

                   x – y ≤ 6      (2)

Z rovnice (1) si vyjadríme x a dosadíme do nerovnice (2)

2x = 3y ⟹ x = (3/2)y

Dosadíme a upravíme nerovnicu:

 

Dosadíme do rovnice (1):

2x = 3.12

x = 18

Zadaniu vyhovuje dvojica čísel (12; 18).

 

Príklad 7:

Na dvoch policiach je menej ako 60 pohárov marmelády. Na jednej polici je o 7 pohárov viac ako na druhej. Najviac koľko pohárov môže by na každej polici?

Riešenie:

Počet na jednej polici si označíme ......x

Počet pohárov na druhej polici ...........y

Zo zadania vyplýva:

                    x + y < 60    (1)

a súčasne

                    x – 7 = y     (2)

Do nerovnice (1) dosadíme rovnicu (2) a upravíme:

x + (x – 7) < 60

2x < 67

x = 33,5⟹ maximálne množstvo pohárov na jednej z políc je 33; na druhej: 33,5 – 7 = 26,5, t. j. 26.

Zopakujte si:
1. Dve prirodzené čísla sú v pomere 3 : 4, ich rozdiel je menší ako 7. Ktoré sú to čísla?
2. Daniel minul ½ svojho vreckového a potom ešte 0,50€, čo spolu predstavovalo minimálne 2/3 vreckového. Koľko peňazí mal Daniel na začiatku?

Použitá literatúra:
Matematika pre 9. ročník
Koreňová L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na SS, Actuell, Bratislava, 2007
Ištoková, A: Monitor 9, Riešené testy z matematiky na prijímacie skúšky na stredné školy, SPN, Bratislava, 2007