Sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi
Novinka:
Maya

Vypracoval(a): Igor Vítek
reklama
Ako je už z názvu jasné, nasledujúce sústavy budú obsahovať dve rovnice a každá z nich dve neznáme. Budeme sa snažiť pomocou ekvivalentných úprav vylúčiť jednu neznámu z niektorej rovnice. Môžeme použiť sčítaciu alebo dosadzovaciu metódu, prípadne sa dá sústava riešiť aj graficky.
-
Sčítacia metóda – rovnice vynásobíme číslami tak, aby sme po ich sčítaní dostali jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou, čiže jedna neznáma po sčítaní vypadne.
Príklad:
3x – 2y = -1 /.5 po vynásobení oboch rovníc a následnom sčítaní
4x + 5y = 14 /.2 nám vypadne neznáma y
––––––––––––––
15x – 10y = -5
8x + 10y = 28
–––––––––––––––
23x = 23
x = 1
3.1 – 2y = -1 /-3 hodnotu x = 1 dosadíme do niektorej z rovníc a
– 2y = - 4 / :(-2) získame druhú neznámu y
y = 2
-
Dosadzovacia metóda – z jednej z rovníc si vyjadríme jednu neznámu a dosadíme do druhej rovnice, čím opäť dostaneme jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou.
Príklad:
7x – 5 y = - 4
3x + y = 14
–––––––––––
Z druhej rovnice vyjadríme y:
3x + y = 14 /-3x
y = 14 – 3x
Tento výraz dosadíme do prvej rovnice.
7x – 5 . (14 – 3x) = - 4
7x – 70 + 15x = - 4 / + 70
22x = 66 / : 22
x = 3
7.3 – 5y = - 4 /-21
-5y = -25 /: (-5)
y = 5
Ak si sústavu predstavíme ako dve priamky, môžu nastať tieto situácie:
-
) ak sú priamky rovnobežné, nemá sústava žiadne riešenie
-
) ak sú priamky rôznobežné, má sústava jediné riešenie
-
) ak priamky splývajú, má sústava nekonečne veľa riešení.
Pri grafickom riešení hľadáme súradnice priesečníka oboch priamok, čo je vlastne riešenie sústavy.
Na záver slovná úloha, ktorá sa dá riešiť pomocou sústavy.
V pivnici sú trojkolky a kolobežky. Je ich spolu 23 a majú dohromady 57 kolies. Koľko je trojkoliek a koľko kolobežiek?
Trojkolky.....................x
Kolobežky ...................y
–––––––––––––––––––––––––
-
prvá rovnica vyjadruje počet trojkoliek a kolobežiek spolu: x + y = 23
-
druhá rovnica vyjadruje počet kolies, ktoré majú trojkolky (3 .x) spolu s kolesami, ktoré majú kolobežky (2.y):
3x + 2y = 57
Teda sústava bude:
x + y = 23 / . (-2)
3x + 2y = 57 11 + y = 23 /-11
–––––––––––––––––––––– y = 12
-2x – 2y = - 46
3x + 2y = 57
––––––––––––––––––––––
x = 11
Trojkoliek je 11 a kolobežiek je 12.
Zopakujte si:
5x – 11y = 3 4x + 7y = 1
6x + 3y = 36 3x – 2y = 6
––––––––––––– ––––––––––––––––
44 -21
x = 5 , y = 2 x = ––– , y = –––
29 29

Pozitívne využitie mobilu | Zásady bezpečného používania počítača |