Sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

Vypracoval(a): Igor Vítek

reklama

Ako je už z názvu jasné, nasledujúce sústavy budú obsahovať dve rovnice a každá z nich dve neznáme. Budeme sa snažiť pomocou ekvivalentných úprav vylúčiť jednu neznámu z niektorej rovnice. Môžeme použiť sčítaciu alebo dosadzovaciu metódu, prípadne sa dá sústava riešiť aj graficky.

1. Sčítacia metóda – rovnice vynásobíme číslami tak, aby sme po ich sčítaní dostali jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou, čiže jedna neznáma po sčítaní vypadne.

 

 

Príklad:

 

3x – 2y = -1 /.5 po vynásobení oboch rovníc a následnom sčítaní

4x + 5y = 14 /.2 nám vypadne neznáma y

––––––––––––––

15x – 10y = -5

8x + 10y = 28

–––––––––––––––

23x = 23

x = 1

 

3.1 – 2y = -1 /-3 hodnotu x = 1 dosadíme do niektorej z rovníc a

– 2y = - 4 / :(-2) získame druhú neznámu y

y = 2

 

 

2. Dosadzovacia metóda – z jednej z rovníc si vyjadríme jednu neznámu a dosadíme do druhej rovnice, čím opäť dostaneme jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou.

 

Príklad:

 

7x – 5 y = - 4

3x + y = 14

–––––––––––

Z druhej rovnice vyjadríme y:

 

3x + y = 14 /-3x

y = 14 – 3x

 

Tento výraz dosadíme do prvej rovnice.

 

7x – 5 . (14 – 3x) = - 4

7x – 70 + 15x = - 4 / + 70

22x = 66 / : 22

x = 3

 

7.3 – 5y = - 4 /-21

-5y = -25 /: (-5)

y = 5

 

 

Ak si sústavu predstavíme ako dve priamky, môžu nastať tieto situácie:

 

1. ) ak sú priamky rovnobežné, nemá sústava žiadne riešenie

2. ) ak sú priamky rôznobežné, má sústava jediné riešenie

3. ) ak priamky splývajú, má sústava nekonečne veľa riešení.

 

Pri grafickom riešení hľadáme súradnice priesečníka oboch priamok, čo je vlastne riešenie sústavy.

 

Na záver slovná úloha, ktorá sa dá riešiť pomocou sústavy.

 

V pivnici sú trojkolky a kolobežky. Je ich spolu 23 a majú dohromady 57 kolies. Koľko je trojkoliek a koľko kolobežiek?

 

Trojkolky.....................x

Kolobežky ...................y

–––––––––––––––––––––––––

• prvá rovnica vyjadruje počet trojkoliek a kolobežiek spolu: x + y = 23

• druhá rovnica vyjadruje počet kolies, ktoré majú trojkolky (3 .x) spolu s kolesami, ktoré majú kolobežky (2.y):

 

3x + 2y = 57

 

Teda sústava bude:

 

x + y = 23 / . (-2)

3x + 2y = 57 11 + y = 23 /-11

–––––––––––––––––––––– y = 12

-2x – 2y = - 46

3x + 2y = 57

––––––––––––––––––––––

x = 11

 

 

Trojkoliek je 11 a kolobežiek je 12.

Zopakujte si:
5x – 11y = 3 4x + 7y = 1
6x + 3y = 36 3x – 2y = 6
––––––––––––– ––––––––––––––––
44 -21
x = 5 , y = 2 x = ––– , y = –––
29 29