Kvadratické rovnice
Novinka:
Maya

Vypracoval(a): Igor Vítek
reklama
Každú rovnicu, danú predpisom ax2 + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.
ax2 – kvadratický člen
bx – lineárny člen
c – absolútny člen
Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x2 – x - 2 = 0
Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
f(x) |
-2 |
-2 |
0 |
4 |
10 |
0 |
4 |
10 |
18 |
Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x1 = -1, x2 = 2
Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x1, x2 je výpočtom.
Zavedieme nový pojem: D = b2 – 4.a.c
Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.
Pre korene x1, x2 platí vzťah:
-b ± √D
x1,2 = ––––––––
2.a
Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.
-b ± √D
1.) ak D je > 0, potom x1,2 = ––––––––
2.a
b
2.) ak D je = 0, potom x 1 = x 2 = - –––––
2.a
3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.
Príklad:
Riešme rovnicu: 2x2 + 7x - 4 = 0
Najskôr určíme koeficienty a,b,c .
a = 2, b = 7, c = - 4
Teraz výpočet diskriminantu:
D = b2 – 4.a.c = 72 – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81
-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1
x1 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––
2.a 2.2 4 2
-b - √D -7 - √81 - 7 - 9
x2 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4
2.a 2.2 4
Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.
1.) ax2 + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena
2.) ax2 + c = 0 rýdzokvadratická rovnica
Príklad:
Riešme rovnicu 5x2 + 3x = 0
Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:
3
5x2 + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x 1 = 0, x 2 = - ––––
5
Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:
ax2 + c = 0 / -c
ax2 = - c / : a
c c c
x2 = - –––– teda x 1 = √ - ––– , x 2 = - √ - –––
a a a
c
to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.
a
Každú rovnicu, danú predpisom ax2 + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.
ax2 – kvadratický člen
bx – lineárny člen
c – absolútny člen
Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x2 – x - 2 = 0
Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
f(x) |
-2 |
-2 |
0 |
4 |
10 |
0 |
4 |
10 |
18 |
Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x1 = -1, x2 = 2
Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x1, x2 je výpočtom.
Zavedieme nový pojem: D = b2 – 4.a.c
Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.
Pre korene x1, x2 platí vzťah:
-b ± √D
x1,2 = ––––––––
2.a
Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.
-b ± √D
1.) ak D je > 0, potom x1,2 = ––––––––
2.a
b
2.) ak D je = 0, potom x 1 = x 2 = - –––––
2.a
3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.
Príklad:
Riešme rovnicu: 2x2 + 7x - 4 = 0
Najskôr určíme koeficienty a,b,c .
a = 2, b = 7, c = - 4
Teraz výpočet diskriminantu:
D = b2 – 4.a.c = 72 – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81
-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1
x1 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––
2.a 2.2 4 2
-b - √D -7 - √81 - 7 - 9
x2 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4
2.a 2.2 4
Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.
1.) ax2 + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena
2.) ax2 + c = 0 rýdzokvadratická rovnica
Príklad:
Riešme rovnicu 5x2 + 3x = 0
Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:
3
5x2 + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x 1 = 0, x 2 = - ––––
5
Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:
ax2 + c = 0 / -c
ax2 = - c / : a
c c c
x2 = - –––– teda x 1 = √ - ––– , x 2 = - √ - –––
a a a
c
to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.
a

Pozitívne využitie mobilu | Zásady bezpečného používania počítača |