Kvadratické rovnice

Vypracoval(a): Igor Vítek

reklama

Každú rovnicu, danú predpisom ax² + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.

 

ax² – kvadratický člen

bx – lineárny člen

c – absolútny člen

Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x² – x - 2 = 0

 

Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.

 

x	0	1	2	3	4	-1	-2	-3	-4
f(x)	-2	-2	0	4	10	0	4	10	18

Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x₁ = -1, x₂ = 2

 

Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x_1, x₂ je výpočtom.

 

Zavedieme nový pojem: D = b² – 4.a.c

 

Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.

 

 

Pre korene x_1, x₂ platí vzťah:

-b ± √D

x_1,2 = ––––––––

2.a

Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.

-b ± √D

1.) ak D je > 0, potom x_1,2 = ––––––––

2.a

b

 

2.) ak D je = 0, potom x ₁ = x ₂ = - –––––

2.a

3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.

 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu: 2x² + 7x - 4 = 0

 

Najskôr určíme koeficienty a,b,c .

 

a = 2, b = 7, c = - 4

 

 

Teraz výpočet diskriminantu:

D = b² – 4.a.c = 7² – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81

-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1

x₁ = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––

2.a 2.2 4 2

-b - √D -7 - √81 - 7 - 9

x₂ = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4

2.a 2.2 4

 

Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.

 

1.) ax² + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena

2.) ax² + c = 0 rýdzokvadratická rovnica

 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu 5x² + 3x = 0

 

Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:

 

3

5x² + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x ₁ = 0, x ₂ = - ––––

5

 

Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:

 

ax² + c = 0 / -c

ax² = - c / : a

c c c

x² = - –––– teda x ₁ = √ - ––– , x ₂ = - √ - –––

a a a

c

 

to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.

 

a

Každú rovnicu, danú predpisom ax² + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.

 

ax² – kvadratický člen

bx – lineárny člen

c – absolútny člen

Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x² – x - 2 = 0

Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.

 

x	0	1	2	3	4	-1	-2	-3	-4
f(x)	-2	-2	0	4	10	0	4	10	18

Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x₁ = -1, x₂ = 2

 

Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x_1, x₂ je výpočtom.

 

Zavedieme nový pojem: D = b² – 4.a.c

 

Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.

 

 

Pre korene x_1, x₂ platí vzťah:

-b ± √D

x_1,2 = ––––––––

2.a

 

Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.

-b ± √D

 

1.) ak D je > 0, potom x_1,2 = ––––––––

2.a

b

 

 

2.) ak D je = 0, potom x ₁ = x ₂ = - –––––

2.a

 

3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.

 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu: 2x² + 7x - 4 = 0

 

Najskôr určíme koeficienty a,b,c .

 

a = 2, b = 7, c = - 4

 

 

Teraz výpočet diskriminantu:

D = b² – 4.a.c = 7² – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81

-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1

x₁ = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––

2.a 2.2 4 2

-b - √D -7 - √81 - 7 - 9

x₂ = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4

2.a 2.2 4

 

Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.

 

1.) ax² + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena

2.) ax² + c = 0 rýdzokvadratická rovnica

 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu 5x² + 3x = 0

 

Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:

3

5x² + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x ₁ = 0, x ₂ = - ––––

5

 

Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:

 

ax² + c = 0 / -c

ax² = - c / : a

c c c

x² = - –––– teda x ₁ = √ - ––– , x ₂ = - √ - –––

a a a

c

to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.

a