Materiály vypracovali učitelia základných a stredných škôl.
Nájdite nás na Facebook / oSkole.sk
 
nevhodný a nelegálny obsah
 
Rýchla navigácia:      

Kvadratické rovnice

Dátum pridania: 24. 10. 2008 16:04
Autor príspevku: Admin
Zobrazené: 25998x

Novinka:

Stále pridávame ďalšie a ďalšie témy, tak neváhajte a inšpirujte sa našimi učivami :)
Maya
maja
 

Vypracoval(a): Igor Vítek

reklama

 

Každú rovnicu, danú predpisom ax2 + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.

 

ax2 – kvadratický člen

bx – lineárny člen

c – absolútny člen


Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x2 – x - 2 = 0


 

Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.

 


x

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

f(x)

-2

-2

0

4

10

0

4

10

18



Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x1 = -1, x2 = 2

 

Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x1, x2 je výpočtom.

 

Zavedieme nový pojem: D = b2 – 4.a.c

 

Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.

 

 

Pre korene x1, x2 platí vzťah:


-b ± √D

x1,2 = ––––––––

2.a


Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.



-b ± √D

1.) ak D je > 0, potom x1,2 = ––––––––

2.a

b

 

2.) ak D je = 0, potom x 1 = x 2 = - –––––

2.a


3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.


 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu: 2x2 + 7x - 4 = 0

 

Najskôr určíme koeficienty a,b,c .

 

a = 2, b = 7, c = - 4

 

 

Teraz výpočet diskriminantu:


D = b2 – 4.a.c = 72 – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81



-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1

x1 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––

2.a 2.2 4 2



-b - √D -7 - √81 - 7 - 9

x2 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4

2.a 2.2 4


 

Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.

 

1.) ax2 + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena

2.) ax2 + c = 0 rýdzokvadratická rovnica


 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu 5x2 + 3x = 0

 

Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:

 

3

5x2 + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x 1 = 0, x 2 = - ––––

5

 

Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:

 

ax2 + c = 0 / -c

ax2 = - c / : a


c c c

x2 = - –––– teda x 1 = √ - ––– , x 2 = - √ - –––

a a a

c

 

to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.

 

a


Každú rovnicu, danú predpisom ax2 + bx + c = 0 nazývame kvadratická rovnica, pričom a,b,c sú reálne čísla, a ≠ 0.

 

ax2 – kvadratický člen

bx – lineárny člen

c – absolútny člen


Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x2 – x - 2 = 0


Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.

 


x

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

f(x)

-2

-2

0

4

10

0

4

10

18



Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x1 = -1, x2 = 2

 

Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x1, x2 je výpočtom.

 

Zavedieme nový pojem: D = b2 – 4.a.c

 

Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.

 

 

Pre korene x1, x2 platí vzťah:


-b ± √D

x1,2 = ––––––––

2.a


 

Pri riešení kvadratických rovníc počítame vždy ako prvú hodnotu diskriminantu.


-b ± √D

 

1.) ak D je > 0, potom x1,2 = ––––––––

2.a

b

 

 

2.) ak D je = 0, potom x 1 = x 2 = - –––––

2.a


 

3.) ak D je < 0, potom rovnica nemá žiadny koreň.


 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu: 2x2 + 7x - 4 = 0

 

Najskôr určíme koeficienty a,b,c .

 

a = 2, b = 7, c = - 4

 

 

Teraz výpočet diskriminantu:


D = b2 – 4.a.c = 72 – 4.2 . (- 4) = 49 + 32 = 81



-b + √D -7 + √81 - 7 + 9 1

x1 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = ––––

2.a 2.2 4 2



-b - √D -7 - √81 - 7 - 9

x2 = –––––––– = ––––––––– = –––––– = - 4

2.a 2.2 4


 

Na záver ešte treba spomenúť neúplné kvadratické rovnice.

 

1.) ax2 + bx = 0 rovnica bez absolútneho člena

2.) ax2 + c = 0 rýdzokvadratická rovnica


 

 

Príklad:

 

Riešme rovnicu 5x2 + 3x = 0

 

Samozrejme aj táto rovnica sa dá riešiť pomocou diskriminantu, ale pri týchto typoch rovníc môžeme použiť rýchlejšie a hlavne jednoduchšie riešenie:

3

5x2 + 3x = 0, z čoho platí: x .(5x + 3) = 0 a teda x 1 = 0, x 2 = - ––––

5

 

Pri rýdzo kvadratickej rovnici môžeme jej korene veľmi ľahko odvodiť:

 

ax2 + c = 0 / -c

ax2 = - c / : a


c c c

x2 = - –––– teda x 1 = √ - ––– , x 2 = - √ - –––

a a a

c

to sú korene rýdzokvadratickej rovnice, pričom a ≠ 0, - ––– je nezáporné.

a



Hodnotenie:
Hviezdičky: 2.7
Hodnotené: 628x


Späť
 
Máte pripomienky k učebným textom? Napíšte nám

odporúčame