Učivá » Matematika

Materiály vypracovali učitelia základných a stredných škôl.

základná škola

5. ročník
6. ročník
7. ročník
8. ročník
9. ročník

stredná škola

1. ročník
2. ročník
3. ročník
4. ročník

Ako trávite čas po škole?

naučím sa a potom idem von s kamarátmi

27%

pozerám televíziu

športujem a večer sa učím

27%

flákam sa

38%

Komplexné čísla I.

Dátum pridania: 08. 06. 2009 11:04

Učivo zobrazené: 12851x

Novinka:

Stále pridávame ďalšie a ďalšie témy, tak neváhajte a inšpirujte sa našimi učivami :)
Maya

reklama

Vypracovala: Petra Podmanická

1.1 Základné pojmy

Definícia:

Komplexné číslo (z) je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Množinu komplexných čísel (C) dostaneme z množiny reálnych čísel (R) tak, že ku R pridáme imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i² = -1

Spôsoby zápisu :

(1) zložkový tvar: z = [a; b]

(2) algebrický tvar: z = a + bi

(3) goniometrický tvar: z = r*(cos φ + i*sin φ), kde r = |z|

(4) exponenciálny tvar: z = r*e^{[i*(φ + 2kπ)]}

(v tejto časti sa budeme venovať prvým dvom)

Vlastnosti operácií s komplexnými číslami:

(1) komutatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie

[ a + b = b + a; a*b = b*a]

(2) asociatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie

[a + (b + c) = (a + b) +c; a*(b*c) = (a*b)*c]

(3) distributívnosť - túto vlastnosť má násobenie, ktoré je distributívne vzhľadom na sčítanie

[(a + b)*c = (a*c) + (b*c)]

1.2 Algebrický tvar komplexných čísel:

V prípade zápisu komplexného čísla v tvare: z = a + bi, platí, že čísla a, b sú reálne čísla, pričom a je reálna časť a b je imaginárna časť. Číslo i sa nazýva imaginárna jednotka a čísla typu 6i sú tzv. rýdzo imaginárne čísla.

Absolútna hodnota komplexného čísla z = a + bi (s využitím Pytagorovej vety) je nezáporné číslo |z| = √(a² + b²). Každé komplexné číslo z, pre ktoré platí |z| = 1 sa nazýva komplexná jednotka.

Komplexne združené číslo: je komplexne združené číslo ku komplexnému číslu z = a + bi. Platí pre ne:

1.3 Geometrický tvar komplexných čísel:

Ku každému komplexnému číslu môžeme priradiť práve jeden bod v rovine so súradnicami [x; y], resp. [a; b]. Tento bod sa nazýva obraz komplexného čísla.

V prípade zápisu komplexného čísla v zložkovom tvare: z = [a; b], platí, že a, b sú usporiadanou dvojicou čísel, pričom a je reálna zložka a b je imaginárna zložka. A podobne môžeme povedať, že os x sa nazýva reálna os a os y sa nazýva imaginárna os a zobrazujú sa na ňu rýdzo imaginárne čísla. Súradnicová rovina s obrazmi komplexných čísiel sa nazýva rovina komplexných čísel alebo Gausova rovina.

1.3.1 Riešený príklad

Graficky určme súčet a rozdiel komplexných čísel: 1 + 2i; 5 + 2i

Riešenie

Komplexné čísla 1 + 2i, 5 + 2i sú body so súradnicami A[1; 2], B[5; 2] a O je počiatok súradnicovej sústavy. Sčítanie (odčítanie) komplexných čísel zodpovedá sčítaniu (odčítaniu) vektorov.

(1) súčet

Zakreslíme si vektory OA a OB. Tieto dva vektory doplníme na rovnobežník (uhlopriečka rovnobežníka je vektor OC = OA + OB) a súradnice vrcholu rovnobežníka, teda súradnice bodu C, je náš hľadaný výsledok. Riešenie pozri na obrázku:

(2) rozdiel

Zakreslíme si vektory OA a OB. Vektor OC = OB – OA. Rovnobežka s vektorom AB prechádzajúca počiatkom súradnicovej sústavy je náš hľadaný vektor OC. (všimnite si, že je to opäť dopĺňanie na rovnobežník, tentokrát je ale OB uhlopriečkou. Ak si z rovnice rozdielu vyjadríme OB, dostávame rovnicu pre súčet vektorov: OB = OC + OA → doplníme na rovnobežník a dostaneme vektor OB).

2.1 Operácie s komplexnými číslami

	Algebrický tvar	Geometrický tvar
Súčet	(a + bi) + (c + di) = = (a + c) + i(b + d)	[a; b] + [c; d] = = [a + c; b + d]
Rozdiel	(a + bi) - (c + di) = = (a - c) + i(b - d)	[a; b] - [c; d] = = [a - c; b - d]
Súčin	(a + bi)*(c + di) = = (ac - bd) + i(ad + bc)	[a; b]*[c; d] = = [ac - bd; ad + bc]
Podiel
Umocňovanie	Pravidlá : i^2;3;6;7 = -1; i³ = -i; i^4;5;8;9 = 1; i^{(4k + m)} = i^m	[a; b]ⁿ =
Odmocňovanie	√(-36) = ± 6i

2.2 Riešené príklady

Príklad 1.3.1 riešte výpočtom (využite pravidlá pre súčet a rozdiel komplexných čísel v geometrickom tvare)
Nájdite súčet, rozdiel a súčin čísel a = 1 + i; b = 2 + i
Vypočítajte (2 + i)³
Vypočítajte $\frac{4 + 5 i}{3 + 2 i}$

Riešenie:

a = 1 + 2i ; b = 5 + 2i $\Rightarrow$ A = [1; 2]; B = [5; 2]

A + B = C

C = [1; 2] + [5; 2] = [1 + 5; 2 + 2] = [6; 4]

c = 6 + 4i

a = 1 + 2i ; b = 5 + 2i $\Rightarrow$ A = [1; 2]; B = [5; 2]

B - A = D

D = [5; 2] – [1; 2] = [5 – 1; 2 – 2] = [4; 0]

d = 4 + 0i = 4

a = 1 + I; b = 2 + i

(1) súčet → c = a + b

c = (1 + i) + (2 + i) = 1 + 2 + i(1 + 1)

c = 3 + 2i

(2) rozdiel → d = a – b

d = (1 + i) – (2 + i) = (1 – 2) + i(1 – 1)

d = -1 + 0i

(3) súčin → e = a*b

e = (1 + i)*(2 + i) = (2*1 – 1*1) + i(1*1 + 1*2)

e = 1 + 3i

a = (2 + i)³ = (2 + i)(2 + i)(2 + i)

a = (2*2 + 2i + 2i + i²)*(2 + i) = (4 + 4i – 1)*(2 + i)

a = (2*4 + 2*4i – 2) + (4i + 4i² – i) = (8 + 8i -2 + 4i – 4 – i)

a = 2 + 11i

3.1 Neriešené príklady

(1) Graficky znázornite súčet a súčin komplexných čísel a = 2 + 3i; b = 4 + i

(2) Umocnite (1 + i)⁸

(3) Vypočítajte $\frac{2 + 3 i}{4 - 2 i}$

(4) Sčítajte, odčítajte, vynásobte : a = 2 + i, b = 2 – i

3.2 Výsledky

(1) Súčet → C = [6; 4]; Rozdiel → [1; -1]

(2) 16

(3) $\frac{1}{10} + \frac{4}{5} i$

(4) a + b = 4; a – b =2i; a*b = 5

Použitá literatúra:

Prehľad matematiky,

Zbierka vzorcov z matematiky,

Maturitné príklady z matematiky,

vlastné poznámky

Hodnotenie:

Hodnotenie: 3.1
1
2
3
4
5

Hviezdičky: 3.1
Hodnotené: 405x

Máte pripomienky k učebným textom? Napíšte nám

odporúčame

najnovšie videá

Základné vlastnosti f...	Video
Choroby tráviacej sús...	Video
Atóm - pozri „opravy“...	Video
Cievna sústava	Video

Mediálna výchova videá

Pozitívne využitie mobilu

Zásady bezpečného používania počítača