Materiály vypracovali učitelia základných a stredných škôl.
Nájdite nás na Facebook / oSkole.sk
 
nevhodný a nelegálny obsah
 
Rýchla navigácia:      

Komplexné čísla I.

Dátum pridania: 08. 06. 2009 11:04
Autor príspevku: Admin
Zobrazené: 18629x

Novinka:

Stále pridávame ďalšie a ďalšie témy, tak neváhajte a inšpirujte sa našimi učivami :)
Maya
maja
 

 

reklama

 
 Vypracovala: Petra Podmanická

 
1.1 Základné pojmy
 
Definícia:
 
Komplexné číslo (z) je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Množinu komplexných čísel (C) dostaneme z množiny reálnych čísel (R) tak, že ku R pridáme imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i2 = -1
 
Spôsoby zápisu :
(1) zložkový tvar: z = [a; b]
(2) algebrický tvar: z = a + bi
(3) goniometrický tvar: z = r*(cos φ + i*sin φ), kde r = |z|
(4) exponenciálny tvar: z = r*e [i*(φ + 2kπ)]
(v tejto časti sa budeme venovať prvým dvom)
 
 
Vlastnosti operácií s komplexnými číslami:
(1) komutatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie
[ a + b = b + a; a*b = b*a]
(2) asociatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie
[a + (b + c) = (a + b) +c; a*(b*c) = (a*b)*c]
(3) distributívnosť - túto vlastnosť má násobenie, ktoré je distributívne vzhľadom na sčítanie
[(a + b)*c = (a*c) + (b*c)]
 
 
 
1.2 Algebrický tvar komplexných čísel:
 
V prípade zápisu komplexného čísla v tvare: z = a + bi, platí, že čísla a, b sú reálne čísla, pričom a je reálna časť a b je imaginárna časť. Číslo i sa nazýva imaginárna jednotka a čísla typu 6i sú tzv. rýdzo imaginárne čísla.
 
Absolútna hodnota komplexného čísla z = a + bi (s využitím Pytagorovej vety) je nezáporné číslo |z| = √(a2 + b2). Každé komplexné číslo z, pre ktoré platí |z| = 1 sa nazýva komplexná jednotka.
 
Komplexne združené číslo: je komplexne združené číslo ku komplexnému číslu z = a + bi. Platí pre ne:
 

 
 
1.3 Geometrický tvar komplexných čísel:
 
Ku každému komplexnému číslu môžeme priradiť práve jeden bod v rovine so súradnicami [x; y], resp. [a; b]. Tento bod sa nazýva obraz komplexného čísla.
 
V prípade zápisu komplexného čísla v zložkovom tvare: z = [a; b], platí, že a, b sú usporiadanou dvojicou čísel, pričom a je reálna zložka a b je imaginárna zložka. A podobne môžeme povedať, že os x sa nazýva reálna os a os y sa nazýva imaginárna os a zobrazujú sa na ňu rýdzo imaginárne čísla. Súradnicová rovina s obrazmi komplexných čísiel sa nazýva rovina komplexných čísel alebo Gausova rovina.
 
 
1.3.1 Riešený príklad
 
Graficky určme súčet a rozdiel komplexných čísel: 1 + 2i; 5 + 2i
 
Riešenie
Komplexné čísla 1 + 2i, 5 + 2i sú body so súradnicami A[1; 2], B[5; 2] a O je počiatok súradnicovej sústavy. Sčítanie (odčítanie) komplexných čísel zodpovedá sčítaniu (odčítaniu) vektorov.
 
(1) súčet
 
Zakreslíme si vektory OA a OB. Tieto dva vektory doplníme na rovnobežník (uhlopriečka rovnobežníka je vektor OC = OA + OB) a súradnice vrcholu rovnobežníka, teda súradnice bodu C, je náš hľadaný výsledok. Riešenie pozri na obrázku:
 

 
 
(2) rozdiel
 

 
Zakreslíme si vektory OA OB. Vektor OC = OB OA. Rovnobežka s vektorom AB prechádzajúca počiatkom súradnicovej sústavy je náš hľadaný vektor OC. (všimnite si, že je to opäť dopĺňanie na rovnobežník, tentokrát je ale OB uhlopriečkou. Ak si z rovnice rozdielu vyjadríme OB, dostávame rovnicu pre súčet vektorov: OB = OC + OA → doplníme na rovnobežník a dostaneme vektor OB).
 
 
2.1 Operácie s komplexnými číslami
 
 
 
 
Algebrický tvar
 
Geometrický tvar
 
Súčet
(a + bi) + (c + di) =
= (a + c) + i(b + d)
[a; b] + [c; d] =
= [a + c; b + d]
 
Rozdiel
(a + bi) - (c + di) =
= (a - c) + i(b - d)
[a; b] - [c; d] =
= [a - c; b - d]
 
Súčin
(a + bi)*(c + di) =
= (ac - bd) + i(ad + bc)
[a; b]*[c; d] =
= [ac - bd; ad + bc]
 
Podiel


 
Umocňovanie
Pravidlá :
i2;3;6;7 = -1; i3 = -i; i4;5;8;9 = 1;
i(4k + m) = im
[a; b]n =

 
Odmocňovanie
√(-36) = ± 6i

 
 
 
2.2 Riešené príklady
 
  1. Príklad 1.3.1 riešte výpočtom (využite pravidlá pre súčet a rozdiel komplexných čísel v geometrickom tvare)
  2. Nájdite súčet, rozdiel a súčin čísel a = 1 + i; b = 2 + i
  3. Vypočítajte (2 + i)3
  4. Vypočítajte \frac{4 + 5 i}{3 + 2 i}
 
 
Riešenie:
 
  1. a = 1 + 2i ; b = 5 + 2i \Rightarrow A = [1; 2]; B = [5; 2]
A + B = C
C = [1; 2] + [5; 2] = [1 + 5; 2 + 2] = [6; 4]
 
c = 6 + 4i
      a = 1 + 2i ; b = 5 + 2i \Rightarrow A = [1; 2]; B = [5; 2]
B - A = D
D = [5; 2] – [1; 2] = [5 – 1; 2 – 2] = [4; 0]
 
d = 4 + 0i = 4
 
  1. a = 1 + I; b = 2 + i
(1)   súčet → c = a + b
c = (1 + i) + (2 + i) = 1 + 2 + i(1 + 1)
 
c = 3 + 2i
(2)   rozdiel → d = a – b
d = (1 + i) – (2 + i) = (1 – 2) + i(1 – 1)
 
d = -1 + 0i
 
(3)   súčin → e = a*b
e = (1 + i)*(2 + i) = (2*1 – 1*1) + i(1*1 + 1*2)
 
e = 1 + 3i
 
  1. a = (2 + i)3 = (2 + i)(2 + i)(2 + i)
a = (2*2 + 2i + 2i + i2)*(2 + i) = (4 + 4i – 1)*(2 + i)
a = (2*4 + 2*4i – 2) + (4i + 4i2 – i) = (8 + 8i -2 + 4i – 4 – i)
 
a = 2 + 11i
 
  1.  
 
 
 
3.1 Neriešené príklady
 
(1)   Graficky znázornite súčet a súčin komplexných čísel a = 2 + 3i; b = 4 + i
(2)   Umocnite (1 + i)8
(3)   Vypočítajte  \frac{2 + 3 i}{4 - 2 i}
(4)   Sčítajte, odčítajte, vynásobte : a = 2 + i, b = 2 – i
 
 
3.2 Výsledky
 
(1)   Súčet → C = [6; 4]; Rozdiel → [1; -1]
(2)   16
(3)   \frac{1}{10} + \frac{4}{5} i
(4)   a + b = 4; a – b =2i; a*b = 5
 
 
 
Použitá literatúra:

Prehľad matematiky,

Zbierka vzorcov z matematiky,

Maturitné príklady z matematiky,

vlastné poznámky



Hodnotenie:
Hviezdičky: 3.1
Hodnotené: 634x


Späť
 
Máte pripomienky k učebným textom? Napíšte nám

odporúčame