Materiály vypracovali učitelia základných a stredných škôl.
Nájdite nás na Facebook / oSkole.sk
 
nevhodný a nelegálny obsah
 
Rýchla navigácia:      

Podobnosť trojuholníkov

Dátum pridania: 23. 04. 2012 16:58
Autor príspevku: Admin
Zobrazené: 16243x

Novinka:

Stále pridávame ďalšie a ďalšie témy, tak neváhajte a inšpirujte sa našimi učivami :)
Maya
maja
 

Vypracoval(a): PaedDr. Elena Šimová

reklama

 

Dva útvary v rovine sú podobné, ak vhodným zväčšením alebo zmenšením jedného z nich dostaneme druhý útvar. Zväčšenie alebo zmenšenie útvaru vyjadruje koeficient podobnosti.

 

 

Koeficient podobnosti označujeme „k a pre neho platí: k > 0.


  • k = 1 – ide o zhodnosť útvarov

  • k > 1 – ide o zväčšenie útvarov

  • k < 1 – ide o zmenšenie útvarov



 

Definícia podobnosti trojuholníkov:


Dva trojuholníky ABC a A´B´C´ sú podobné práve vtedy, ak existuje také kladné číslo k, že platí:


|A´B´|/ |AB| = |B´C´|/ |BC| = |A´C´|/ |AC| = k


 

V praxi sa používajú nasledovné vety o podobnosti trojuholníkov:


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová



  1. Veta sss


Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


|A´B´|/ |AB| = |B´C´|/ |BC| = |A´C´|/ |AC| ABC ~ A´B´C´




  1. Veta sus

 

Dva trojuholníky sú podobné, ak sú rovnaké pomery dĺžok príslušných strán a ak sú zhodné uhly, ktoré tieto strany zvierajú.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


|A´B´|/ |AB| = |B´C´|/ |BC| ; β = β´ ABC ~ A´B´C´




  1. Veta uu


Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

β = β´ ; γ = γ´ ABC ~ A´B´C´




  1. Veta Ssu


Dva trojuholníky sú podobné, ak sa rovnajú pomery dĺžok dvoch strán a ak sa rovnajú veľkosti uhlov oproti väčšej z nich.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


|A´B´|/ |AB| = |A´C´|/ |AC| ; γ = γ´ ABC ~ A´B´C´



Poznámka:


  • Podobné trojuholníky sa dajú zodpovedajúcimi výškami alebo ťažnicami, alebo osami uhlov rozložiť na podobné trojuholníky. V podobných trojuholníkoch sú pomery dĺžok zodpovedajúcich si výšok rovnaké ako pomery dĺžok zodpovedajúcich si strán.

  • Obvody podobných trojuholníkov sú v rovnakom pomere ako pomery zodpovedajúcich si strán:


O : O´ = a : a´ = b : b´ = c : c´ = k


  • - Obsahy podobných trojuholníkov sú v pomere druhých mocnín dĺžok zodpovedajúcich si strán:


S : S´ = a2 : a´2 = b2 : b´2 = c2 : c´2 = k2.




Pr. 1. Sú daná dva trojuholníky ABC a EFG. Trojuholník má strany dlhé 5 cm, 6 cm a 8 cm, trojuholník EFG má strany dlhé 12,5 cm, 20 cm a 18 cm. Zisti, či dané trojuholníky sú alebo nie sú podobné. Ak áno, s akým koeficientom a podľa akej vety.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

ABC: a = 5 cm                 

         b = 6 cm                          

         c = 8 cm                          


 

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

 EFG: e = 12,5 cm

          f = 18 cm

          g = 20 cm

 

 

ABC ? EFG

     k = ?


    a / e = k1                                      b / f = k2                                c / g = k3

5 / 12,5 = k1                          6 / 18 = k2                               8 / 20 = k3

      0,4 = k1                             0,33 = k2                                  0,4 = k3

                                             

                                              k1 = k3 ≠ k2


Odpoveď: Trojuholníky ABC a EFG nie sú podobné, keďže všetky tri koeficienty sa nezhodujú.



 

Pr. 2. Z dvoch podobných trojuholníkov má jeden obvod 96 a druhý strany o 9, 12 a 15 cm menšie ako prvý. Vypočítajte veľkosti strán oboch trojuholníkov.


ABC: O = 96 cm                                        A´B´C´: O´ = ?

          a = ?                                                             a´= a – 9

          b = ?                                                             b´ = b – 12

          c = ?                                                             c´ = c - 15


O´ = a´ + b ´ + c´ = a – 9 + b – 12 + c – 15 = a + b + c – 36 = O – 36 = 96 – 36 = 60 cm


 

k = O / O´ = 96 / 60 = 1,6

 

a = k . a´           b = k . b´          c = k . c´

a = 1,6 . a´        b = 1,6 . b´        c = 1,6 . c´


a´= a – 9 = k . a´ - 9 = 1,6 . a´ - 9 -0,6 a´ = -9           a ´ = 15 cm a = 15 + 9 = 24 cm

= b – 12 = k . b´ - 12 = 1,6 . b´ - 12 -0,6 b´ = -12    b ´ = 20 cm b = 20 + 12 = 32 cm

c´= c – 15 = k . c´ - 15 = 1,6 . c´ - 15 -0,6 c´ = -15    c ´ = 25 cm c = 25+ 15 = 40 cm


Odpoveď: Strany trojuholníka ABC majú veľkosť: 24, 32 a 40 cm a strany trojuholníka A´B´C´ majú veľkosť: 15, 20 a 25 cm.



Zopakujte si:
1. Zadefinuj vetu sss o podobnosti trojuholníkov.
2. Zadefinuj vetu sus o podobnosti trojuholníkov.
3. Zadefinuj vetu uu o podobnosti trojuholníkov.
4. Zadefinuj vetu Sss o podobnosti trojuholníkov.
5. Do akej číselnej množiny patrí koeficient podobnosti?
6. Je daný trojuholník EFG s rozmermi 6,2 cm, 7,4 cm a uhol nimi zovretý má veľkosť 45° a trojuholník KLM s rozmermi 8,06 cm , 9,62 cm a uhol nimi zovretý má veľkosť 45°. Určte, či dané trojuholníky sú podobné, ak áno, podľa akej vety a s akým koeficientom.
7. Je daný trojuholník XYZ s rozmermi 6 cm, 7 cm a 8 cm. Akú dĺžku majú strany trojuholníka MNO, ktorý je podobný s trojuholníkom XYZ a jeho obvod je 14 cm?



Použitá literatúra:
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
vlastné poznámky
www.wikipedia.org



otestujte sa
 
Hodnotenie:
Hviezdičky: 2.9
Hodnotené: 407x


Späť
 
Máte pripomienky k učebným textom? Napíšte nám

odporúčame