Povrch a objem valca

Vypracoval(a): Jana Zárecká

reklama

Valec je priestorové teleso, ktoré vznikne napríklad otáčaním obdĺžnika okolo jeho strany.

 

Valec sa skladá z dvoch podstáv tvaru kruhu s polomerom r a plášťa.

 

 

Výška valca v je vzdialenosť obidvoch podstáv od seba.

 

 

 

Po rozvinutí plášťa do roviny dostaneme obdĺžnik. Jedna jeho strana je rovnaká ako výška valca v a druhá sa rovná obvodu podstavy 2πr.

 

 

 

Povrch valca označujeme S a vypočítame ho tak, že spočítame obsah plášťa Spl a obsah kruhových podstáv Sp.

S = Spl + 2.Sp Spl = 2πrv Sp = πr²

S = 2πrv + 2. πr² úpravou dostaneme

 

 

S = 2πr (v + r)

 

 

 

Príklad:

Vypočítajte povrch valca s výškou v = 2,5 dm a priemerom podstavy

d = 24 cm

povrch valca vypočítame podľa vzorca S = 2πr (v + r)

d = 24 cm ⇒ r = 12 cm

v = 2,5dm (aby sme mali rovnaké jednotky, musíme dm premeniť na cm)

v = 25 cm

S = 2πr (v + r)

S = 2. 3,14 . 12.(25 + 12)

S = 75,36 . 37

S = 2788,32 cm²

Povrch valca je 27888,32 cm²

 

 

 

 

Objem valca vypočítame tak, že vynásobíme obsah podstavy Sp výškou valca v.

 

 

V = Sp . v

 

 

V = π.r² v

 

 

 

Príklad:

Vypočítajte objem valca s výškou v = 5dm a polomerom podstavy

r = 20 cm

objem valca vypočítame podľa vzorca V = π r² . v

r = 20 cm

v = 5 dm (aby sme mali rovnaké jednotky, musíme dm premeniť na cm)

v = 50 cm

V = π .r² v

V = 3,14 . 20² . 50

V = 3,14 . 400 . 50

V = 62 800 cm³

Objem valca je 62 800 cm³

 

 

 

Ak poznáme objem alebo povrch valca a niektoré jeho rozmery, vieme si vypočítať jeden chýbajúci rozmer.

 

 

 

Príklad:

Vypočítajte výšku valca s objemom V = 14 130 cm³ a polomerom podstavy r = 15 cm.

 

Na výpočet použijeme vzorec na výpočet objemu valca, ktorý si upravíme ekvivalentnými úpravami.

 

/ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = 20 cm

 

Výška valca je 20 cm.

Zopakujte si:
Vypočítajte povrch a objem valca s priemerom podstavy

d = 48 cm a výškou v = 2,5 dm.

Použitá literatúra:
Matematika pre 9.ročník základných škôl